# 点到线段的距离

# 两种情况

首先要判断点$P$ 到直线$AB$ 的投影是否落在线段$AB$ 上。

若落在线段内，即$\angle A$ 和$\angle B$ 为锐角，则距离为点到直线$AB$ 的距离

若落在线段外，即$\angle A$ 或$\angle B$ 为钝角，则距离为点到线段$AB$ 的最近端点的距离

# 如何判断垂足是否落在线段上？

有两种做法。

第一种根据角度判断，若$\angle A$、$\angle B$ 均为锐角，则为情况一，否则为情况二。
这里可以利用向量的点积运算。
我们知道

$$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b \rangle$$

那么根据$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BP}$的正负即可判断是否锐角。

第二种根据投影长度判断。若投影$AD$ 与线段$AB$ 的长度之比在$[0,1]$ 之间，表明垂足落在线段$AB$ 内。
这里依然利用点积运算的式子

$$\cos \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b \rangle=\frac{\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$$

AD 与 AB 之比即为

$$\frac{|AP|\cos A}{|AB|}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}}{|AB|^2}$$

我们检验这个值是否落在$[0,1]$ 即可。

# 计算距离

对于情况一，点到直线的距离，可以使用三角形面积推算。

$$|PD|=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}|}{|AB|}$$

对于情况二，简单对 P 到 AB 两点距离取最小值即可。

$$dis(P,AB)=\min(dis(P,A),dis(P,B))$$

# 附代码

inline double sqr(const double &x){// 平方

    return x*x;

}

struct P{

    double x,y;

    double len()const{// 模长

        return sqrt(x*x+y*y);

    }

    double dot(const P &rv)const{// 点乘

        return x*rv.x+y*rv.y;

    }

    double cross(const P &rv)const{// 叉乘

        return x*rv.y-y*rv.x;

    }

    double dis(const P &rv)const{// 两点距离

        return sqrt(sqr(x-rv.x)+sqr(y-rv.y));

    }

    P operator - (const P &rv)const{// 取向量

        return {x-rv.x,y-rv.y};

    }

};

struct Seg{

    P a,b;

    P vec;

    Seg()=default;

    Seg(const P &a,const P &b):a(a),b(b),vec(b-a){}

    double dis(const P &p){// 点到线段的距离

        double d=(p-a).dot(vec)/sqr(vec.len());

        if(d>0 && d<1)

            return fabs((p-a).cross(vec)/vec.len());

        return std::min(p.dis(a),p.dis(b));

    }

};